תקצירי קורסים – החוג למתמטיקה – בית הספר העל-יסודי

מטרות הקורס הן להניח יסודות ראשונים למתמטיקה המתקדמת – בסיס ידע הכרחי משותף עליו ניתן לבנות קורסים מתקדמים יותר. הגישה לא פורמלית, אך מדויקת ומתמטית. התכנים המרכזיים בקורס: מבוא לתורת הקבוצות, פונקציות, סדרות, מערכות מספרים, הוכחות באינדוקציה והגדרות רקורסיביות.

מטרות הקורס הן היכרות עם השפה, הכלים ואמצעי החשיבה של המתמטיקה המתקדמת. יושם דגש על חיזוק הידע הגרעיני ועל מושגים בסיסיים מרכזיים במתמטיקה המתקדמת. בין התכנים בקורס נכללים מושגי יסוד בלוגיקה: ניתוח פסוקים, קשרים לוגיים (שלילה, או, גם), פסוקי תנאי, שקילויות לוגיות, תכונות של עצמים, פסוקים מכומתים: פסוק כוללני ופסוק יישי, כללי היסק, תבניות טיעון תקפות ולא תקפות. ניתוח שיטות הוכחה במתמטיקה.

מטרות הקורס: להניח את היסודות הדרושים לקורסי המתמטיקה המתקדמת ולרכוש התנסות בעבודה מתמטית עצמאית. כל המושגים יוגדרו בצורה פורמלית וכל הטענות יזכו להוכחות מתמטיות.
תכנים מרכזיים: קבוצות – פעולות, זוגות סדורים, מכפלה קרטזית, הכללות; פונקציות – תחום, קבוצת תמונה, פונקציית שקילות, פונקציה הפוכה, גרף; יחסים – יחס בין קבוצות, יחסי שקילות, יחסי סדר.

תכנים מרכזיים: מערכות משוואות לניאריות, מטריצות, דטרמיננטות, מרחבים וקטורים; בסיסים, תיאור גאומטרי של המרחבים R3, R2, צרופים ליניאריים ותלות ליניארי, העתקות ליניאריות ומטריצות.

תכנים מרכזיים: קבוצות יחסים ופעולות בין קבוצות, יחסים ופונקציות, יחסי סדר ויחסי שקילות – חזרה, העמקה והרחבה. פרדוקסים בתורת הקבוצות, הצורך באקסיומטיקה. שקילות בין קבוצות. מושג העצמה, עוצמות סופיות ואינסופיות. קבוצות בנות מנייה – אפיון, ניתוח דוגמאות חשובות. עצמת הרצף – ניתוח דוגמאות חשובות. פעולות שומרות עצמה בין קבוצות. סדר בין עוצמות, משפט קנטור ברנשטיין. היררכיה של עוצמות אינסופיות. חיבור וכפל של עוצמות (לוח חיבור ולוח כפל). השערת הרצף. משפט אי השלמות של גדל.

תכנים מרכזיים: הצגה אקסיומטית של מערכת המספרים הטבעיים (אקסיומות פיאנו). הוכחות באינדוקציה. הגדרות רקורסיביות של פעולות אריתמטיות והוכחת תכונותיהן. סדר בטבעיים. המספר 0. המספרים השלמים, הגדרות, סדר ופעולות אריתמטיות, המספרים הרציונליים כשדה סדור. הצגה עשרונית של המספרים הרציונליים, אפיון הרציונליים על פי הפיתוח העשרוני. אלגוריתם חיבור מאונך. הפיתוח …0.999. הליך גאומטרי של מיפוי נקודות על ישר המספרים – המספרים הממשיים, הישר הממשי. התכנסות סדרות של מספרים ממשיים, תכונת השלמות. סדר, פעולות אריתמטיות ותכונותיהן. המספרים המרוכבים.

תורת ההסתברות כמודל מתמטי לניתוח תופעות מקריות והבנת בעיות בתנאי אי-ודאות.
מטרות: רכישת שיטות וכלים לפתרון בעיות מעשיות בהסתברות. יישומים. ניתוח תפיסות מוטעות והקנית יכולת קריאה וניתוח של נתונים בתנאי אי-ודאות. הבנה היסטורית של התפתחות התורה, היבטים דידקטיים בהוראה.
הקורס יעסוק בצדדים התיאורטיים והמעשיים של התורה. הנושאים: הסתברות במרחב בדיד ורציף (כולל קומבינטוריקה, הסתברות מותנית ואי תלות). משתנים מקריים חד-ממדיים ודו-ממדיים, התפלגויות ומשפחות התפלגות (בדידות ורציפות). מומנטים מקדם מתאם, קירובים הסתברותיים, משפט הגבול המרכזי.

מטרות: הבנת הבסיס התאורטי של ההסקה הסטטיסטית. יכולת לקרוא בצורה ביקורתית מאמרים (במדיה וכן בספרות המקצועית) המכילים נתונים או ניתוחים סטטיסטיים, יכולת לבצע ניתוחים סטטיסטיים פשוטים ומתקדמים. הקניית היבטים בהוראת סטטיסטיקה ברמת חטיבה ותיכון.
נושאי הקורס העיקריים: סטטיסטיקה תיאורית (מעט), משפט הגבול המרכזי, אמידה נקודתית ורווחי סמך. מבחני עוצמה מקסימלית, בדיקת השערות על ממוצע פרופורציה ושונות. השוואת אוכלוסיות, מבחני חי בריבוע.

מטרות: היכרות עם המושגים המאחדים את המתמטיקה והנמצאים ביסוד המתמטיקה.
תכנים מרכזיים: פעולות בינאריות, סגירות, אגודות. מושג החבורה. חבורות מיוחדות – חבורת הארבע של קליין, החבורה הסימטרית. תכונות של חבורות. חבורות חלקיות. חבורות ציקליות. קוסטים ומשפט לגרנז'. הומומורפיזמים ואיזומורפיזמים. חוגים ושדות.